【题目】[阅读理解]
我们知道:,那么结果等于多少呢?
在图1所示的等边三角形数阵中,第行的一个小等边三角形中的数为,即第行的三个小等边三角形中的数的和是即; ..第行的个小等边三角形中的数的和是个,即,该等边三角形数阵中共有小等边三角形,所有小等边三角形数的和为.
[规律探究]
以图1中的等边三角形数阵的右底角顶点为旋转中心顺时针旋转再把旋转后的图形按同样的方法可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个等边三角形数阵各行同一位置的小等边三角形中的数,发现位于奇数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;发现位于偶数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;而每个等边三角形数阵中,由于位于奇数位置的数比位于偶数位置的数多个,则位于偶数位置的数有_
个
因此,
[解决问题]根据以上发现,计算:
【答案】[规律探究],,,;[解决问题]
【解析】
[规律探究] 设每个等边三角形数阵中位于偶数位置的数有x个,根据题意列出方程即可求出x的值,从而求出每个等边三角形数阵中位于奇数位置的数的个数,再根据题意,即可求出这三个等边三角形数阵所有数的总和,即可求出最终结论;
[解决问题] 令2n-1=2019,即可求出n的值,然后代入[规律探究]的公式即可求出结论.
解:[规律探究]设每个等边三角形数阵中位于偶数位置的数有x个,
由题意可得x+(x+n)=n2
解得:x=,
则每个等边三角形数阵中位于奇数位置的数有+n=
∴由此可得,这三个等边三角形数阵所有数的总和为: (4n+1)×+(4n-1)×=
∴
故答案为:,,,;
[解决问题] 令2n-1=2019
解得:n=1010
=
=
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【题目】(1)如图1,菱形的顶点、在菱形的边上,且,请直接写出的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形绕点旋转一定角度,如图2,求;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且,此时的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点,则平面内存在直线l,使点M,B,到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
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【题目】给定一个函数,如果这个函数的图象上存在一个点,它的横、纵坐标相等,那么这个点叫做该函数的不变点.
(1)一次函数的不变点的坐标为______.
(2)二次函数的两个不变点分别为点(在的左侧),将点绕点顺时针旋转90°得到点,求点的坐标.
(3)已知二次函数的两个不变点的坐标为.
①求的值;
②如图,设抛物线与线段围成的封闭图形记作.点为一次函数的不变点,以线段为边向下作正方形.当两点中只有一个点在封闭图形的内部(不包含边界)时,求出的取值范围.
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【题目】如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点,则∠OAB大小的变化趋势为( )
A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正确结论的选项是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】图①是一个演讲台,图②是演讲台的侧面示意图,支架BC是一段圆弧,台面与两支架的连接点A,B间的距离为30cm,CD为水平地面,∠ADC=75°,∠DAB=60°,BD⊥CD.
(1)求BD的长(结果保留整数,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.7);
(2)如图③,若圆弧BC所在圆的圆心O在CD的延长线上,且OD=CD,求支架BC的长(结果保留根号).
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【题目】在中,以为斜边,作直角,使点落在内,.
(1)如图1,若,,,点,、分别为,的中点,连接,求线段的长;
(2)如图2,若,把绕点递时针旋转一定角度,得到,连接并延长变于点,求证:;
(3)如图3,若,过点的直线交于点,交于点,,且,请直接写出线段、、之间的关系(不需要证明).
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【题目】某文化用品商店准备购进甲、乙两种书包进行销售,经调查,乙书包的单价比甲书包贵元,用元购进乙书包的个数与用元购进甲书包的个数相等.
(1)求甲、乙两种书包的进价分别为多少元?
(2)商户购进甲、乙两种书包共个进行试销,其中甲书包的个数不少于个,且甲书包的个数 的倍不大于乙书包的个数,已知甲书包的售价为元/个,乙书包的售价为元/个,且 全部售出,设购进甲书包个,求该商店销售这批书包的利润与之间的函数关系式,并 写出的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该店将个书包全部售出后,使用所获的利润又购进个书包捐赠给 贫困地区儿童,这样该商店这批书包共获利元.请求出该店第二次进货所选用的进货方案?
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