Question

17、如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC=3∠A，连接HG，求证：HG平分∠BHF．

Answer 1

分析：由高BE、CF和∠BHC=135°，可得∠BHF=45°，∠A=45°，要证HG平分∠BHF，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°；由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，则有∠BCG=∠GHB．通过GB=GC，∠BHC=135°，可求出∠BCG=22.5°，得到∠GHB=22.5°．

解答：证明：∵BE、CF为高，∠BHC=135°，
∴∠BHF=45°，∠A=45°．
∴∠BGC=3∠A=135°，即有∠BGC=∠BHC，
∴B、G、H、C四点共圆，
∴∠BCG=∠GHB．
而GB=GC，∠BHC=135°，得∠BCG=22.5°，
∴∠GHB=22.5°，而∠BHF=45°，
∴HG平分∠BHF．

点评：本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了等腰三角形的性质．