Question

1．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用现有的住房墙，另外三边用25m长得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个小门．
（1）如果住房墙长12米，门宽为1米，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？
（2）如果住房墙长12米，门宽为1米，当AB边长为多少时，猪舍的面积最大？最大面积是多少？
（3）如果住房墙足够长，门宽为a米，设AB=x米，当6.5≤x≤7时，猪舍的面积S先增大，后减小，直接写出a的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以设平行于墙的边长为x米，然后列出相应的方程，注意解得的x的值不能大于12米；
（2）设平行于墙的长，然后列出相应的S关于x的函数关系式，从而可以求得AB边长为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少；
（3）根据题意可以求得S关于x的关系系和列出相应的不等式，从而可以求得a的取值范围．

解答 解：（1）平行于围墙的边长为x米，
x•$\frac{25-x+1}{2}$=80，
解得，x₁=10，x₂=16（舍去）
∴$\frac{25-x+1}{2}$=8，
即所围矩形猪舍的长是10米、宽分8米时，猪舍面积为80平方米；
（2）设平行于围墙的边长为x米，猪舍的面积为S平方米，
S=x•$\frac{25-x+1}{2}$=$-\frac{1}{2}（x-13）^{2}+\frac{169}{2}$，
∵墙长12米，
∴当x=12时，S取得最大值，此时S=84，$\frac{25-x+1}{2}=7$，
即当AB边长为7米时，猪舍的面积最大，最大面积是84平方米；
（3）由题意可得，
S=x•（25+a-2x）=$-2（x-\frac{25+a}{4}）^{2}+\frac{（25+a）^{2}}{8}$，
∵当6.5≤x≤7时，猪舍的面积S先增大，后减小，
∴$6.5＜\frac{25+a}{4}＜7$，
解得，1＜a＜3，
即a的取值范围是1＜a＜3．

点评 本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和函数关系式．