Question

7．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+3．

Answer 1

分析 对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB=AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM=∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=B′M，设BM=B′M=x，可得出OM=8-x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．

解答 解：对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，求出y=8；令y=0求出x=6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA=6，OB=8，
根据勾股定理得：AB=10，
在x轴上取一点B′，使AB=AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM=∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB′}\\{∠BAM=∠B′AM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM=B′M，
设BM=B′M=x，则OM=OB-BM=8-x，
在Rt△B′OM中，B′O=AB′-OA=10-6=4，
根据勾股定理得：x²=4²+（8-x）²，
解得：x=5，
∴OM=3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y=kx+b，
将A与M坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x+3．

点评 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．