Question

已知抛物线y=x²-（m+3）x+

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（m+1）．
（1）小明发现无论m为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明．
（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M，N两点，且线段MN的长度为2，求此抛物线的解析式．
（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点A，过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点B，与抛物线的对称轴交于点D，点C为抛物线的顶点．问在线段AB上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）运用判别式进行判断即可；
（2）设M（x₁，0），则N（x₂，0），由根与系数关系得x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+1），再由|x₁-x₂|=2，两边平方，将两根关系代入求m的值；
（3）存在．根据抛物线解析式求A点坐标及顶点C的坐标，确定直线y=x+b的解析式，再求D点坐标，得到CD的长，设过P点的直线为x=n，分别代入直线、抛物线解析式，可求P、E两点的纵坐标，表示线段PE的长，根据PE=CD，列方程求n的值，再求平行四边形的面积．

解答：解：（1）∵y=x²-（m+3）x+

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（m+1）的判别式为
△=[-（m+3）]²-4×

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（m+1）=m²+3＞0，
∴无论m为何值时，抛物线总与x轴相交；

（2）设M（x₁，0），则N（x₂，0），
∵x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

3

2

（m+1），|x₁-x₂|=2，
∴两边平方，得（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
将两根关系代入，得（m+3）²-4×

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（m+1）=4，
解得m=±1，
当m=-1时，x₁•x₂=

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（m+1）=0，不符合题意，舍去，
∴m=1，y=x²-4x+3；

（3）存在．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴A（0，3），C（2，-1），
∴直线AB：y=x+3，D（2，5），
则CD=5-（-1）=6，
设过P点的直线为x=n，
则P（n，n+3），E（n，n²-4n+3），
∴PE=（n+3）-（n²-4n+3）=-n²+5n，
当四边形DCEP为平行四边形时，PE=CD，
即-n²+5n=6，解得n=2或3，当n=2时，PE与CD重合，舍去，
当n=3时，?CDPE的面积=（-n²+5n）×（3-2）=6．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线与x轴的交点横坐标和根与系数的关系，列方程求待定系数m的值．