Question

10．如图①，在边长为8的等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，若将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则图①中CE的长为（2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$）cm．

Answer 1

分析 如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设OM为rcm，根据CD=CO+OD列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M，
连接OM，
则OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依题意知道∠DCB=30°，
设OM为rcm，
∵△ABC是等边三角形，AB=8
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$cm，
∵⊙O沿DC方向向上平移1cm，
∴OD=1cm，
∴sin∠DCB=$\frac{OM}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2r，
∴1+2r=4$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$，
∴CE=CD-OE-OD=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$-1=（2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$）cm，
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，属于中考常考题型．