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6.如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=4,OB=3,点C在边OA上,AC=1,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的图象经过圆心P,则k的值是(  )
A.$-\frac{5}{4}$B.$-\frac{5}{3}$C.$-\frac{5}{2}$D.-2

分析 作PM⊥AB于M,PN⊥x轴于N,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质得PM=PN=r,再利用面积法求出r=$\frac{1}{2}$,接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC=NB=$\frac{1}{2}$,于是得到P点坐标为($\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$),然后把P($\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$)代入y=$\frac{k}{x}$可求出k的值.

解答 解:作PM⊥AB于M,PN⊥x轴于N,如图,设⊙P的半径为r,
∵⊙P与边AB,AO都相切,
∴PM=PN=r,
∵OA=4,OB=3,AC=1,
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∵S△PAB+S△PAC=S△ABC
∴$\frac{1}{2}$•5r+$\frac{1}{2}$•r•1=$\frac{1}{2}$•3•1,解得r=$\frac{1}{2}$,
∴BN=$\frac{1}{2}$,
∵OB=OC,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,
∴NC=NB=$\frac{1}{2}$,
∴ON=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,
∴P点坐标为($\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$),
把P($\frac{5}{2}$,-$\frac{1}{2}$)代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{5}{2}$×(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{4}$.
故选A.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征.

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(1)在图1中作一个菱形,使得点A、B为所作菱形的2个顶点,另外2个顶点在?ABCD的边上;在图2中作一个菱形,使点B、D为所作菱形的2个顶点,另外2个顶点在?ABCD的边上;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
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