Question

11．如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．
（1）证明：DE=DF；
（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；
（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质直接可得到DE=DF；
（2）可证明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用线段垂直平分线的判定可证明AD是EF的垂直平分线，可证得结论；
（3）设△CDF的面积为x，则可分别表示出△BED、△ADE的面积，利用三角形的面积可分别表示出DE和DF，根据DE=DF可得到关于x的方程，可求得x的值，进一步可求得四边形AEDF的面积．

解答 解：
（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线的性质）；
（2）垂直．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上，
同理点D也在线段EF的垂直平分线上，
∴AD⊥EF；
（3）设S_△CDF=x，则S_△BDE=2x，
∵S_△ACD=1，且△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=1-x，
∴S_△ABD=S_△BDE+S_△AED=2x+1-x=x+1，
又S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，且AB=c，AC=b，
∴$\frac{1}{2}$×c•DE=x+1，$\frac{1}{2}$×b•DF=1，
∴DE=$\frac{2x+2}{c}$，DF=$\frac{2}{b}$，
又由（1）可知DE=DF，
∴$\frac{2x+2}{c}$=$\frac{2}{b}$，解得x=$\frac{c}{b}$-1，
∵△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=S_△ACD-S_△CDF=1-x，
∴S_{四边形AEDF}=2S_△AED=2（1-x）=2[1-（$\frac{c}{b}$-1）]=4-$\frac{2c}{b}$，
即四边形AEDF的面积为4-$\frac{2c}{b}$．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定及方程思想等．在（2）中可利用等腰三角形的性质证明，但是利用垂直平分线的判定更容易证明，在（3）中用b、c表示出DE和DF是解题的关键，注意方程思想的应用．本题考查知识点较基础，但是第（3）问有一定的难度．