Question

【题目】如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作菱形BDEF，当点A，E，F在同一直线上时，∠F的正切值为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】连接BD与AC相交于O，过点E作EG⊥BD于G，可得四边形AOEG是矩形，可得GE=AO，再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，求出∠EDG=30°即可求出答案.

证明：连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G；

∵正方形ABCD
∴∠ACB=∠DBC=45°，AC=BD=2BO，∠BOC=90°，
∵菱形AEFC，∠F=∠DB，∠DEF=180°-∠F，
∴EF=BF，BD∥EF，
∴∠BAF=∠DBA=45°，
∴∠CAF=∠BAC+∠BAF＝90°，
∵EG⊥BD，
∴四边形AOEG是矩形，
∴GE=AO，
∴DE=2GE，
∴∠EDG=30°，
∴∠F=30°

∴∠F的正切值为．

“点睛”本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出矩形的和30°的直角三角形是解题的关键.