Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是矩形ABCD内的一个动点，且∠APB=90°，连接PC，若PC的长为整数，则PC的长可能为2或3或4．

Answer 1

分析 以AB为直径在矩形作圆O，证出点P在圆O上，连接OC，由矩形的性质得出∠OBC=90°，OB⊥BC，OB=$\frac{1}{2}$AB=2，由勾股定理求出OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，当P为OC与圆O的交点时，PC最小=$\sqrt{13}$-2；当PC与OP垂直时，PC是圆O的切线，PC=BC=3，由勾股定理求出AC=5，得出$\sqrt{13}$-2≤PC＜5，即可得出答案．

解答 解：以AB为直径在矩形作圆O，
∵∠APB=90°，
∴点P在圆O上，
连接OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC=90°，OB⊥BC，OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
当P为OC与圆O的交点时，PC最小=$\sqrt{13}$-2；
当PC与OP垂直时，PC是圆O的切线，PC=BC=3，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
而$\sqrt{13}$-2≤PC＜5，
∴若PC的长为整数，则PC的长可能为2或3或4；
故答案为：2或3或4．

点评 本题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、切线长定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出PC的取值范围是解决问题的关键．