Question

15．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：△NDE≌△MAE；
（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知ND∥AM，可证得∠DNE=∠AME，结合E为AD的中点，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得ND=AM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论；
（3）若四边形AMDN是矩形，则可求得AM=$\frac{1}{2}$AD，则可求得答案．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，
∴∠DNE=∠AME，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠AME}\\{∠DEN=∠AEM}\\{DE=AE}\end{array}\right.$
∴△NDE≌△MAE（AAS）；
（2）证明：
由（1）可知△NDE≌△MAE，
∴ND=AM，且ND∥AM，
∴四边形AMDN为平行四边形；
（3）解：当AM=1时，四边形AMDN为矩形，
理由如下：
若四边形AMDN为矩形，则∠AMD=90°，
∵∠DAM=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=1，
故当AM=1时，四边形AMDN为矩形．

点评 本题主要考查矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键．