【题目】如图,在平行四边形中,,,是上一动点,过作的垂线交于,将折叠得到,延长交于,连接.
(1)求证:;
(2)当时,证明是等腰三角形;
(3)若,,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析; (3)
【解析】
(1)先证B、D、F在一条直线上,再证明∠PDG=∠BEG,接着证∠PDG=∠F得到PD=PF,再证∠ADP =∠DHP得到PD=PH,用等量替换即刻得到答案;
(2)先根据以及得到∽,再证明以及得到AD=AP,即可得到是等腰三角形;
(3)先根据, ,得到,再计算DP的长度,利用勾股定理即可得到DE的长.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠PBC=180°,
∵∠A=45°,
∴∠PBC=135°,
由折叠知,∠PBF=∠PBE=135°,
∵,
∴∠ABD=45°,
∴∠ABD+∠PBF=180°,
∴点F在DB的延长线上,
即:B、D、F在一条直线上,
如图,把PE与DF的交点记为G,
∵∠ABD=45°,∠PBC=135°,
∴∠DBE=90°,
∴∠BEG+∠BGE=90°,∠BGE=∠PGD,
又∵过作的垂线交于,
∴∠PDG+∠PGD=90°,
∴∠PDG=∠BEG(等量替换),
又∵∠BEG=∠F,
∴∠PDG=∠F(等量替换),
∴PD=PF,
∵∠GDP+∠ADP=90°,∠F+∠DHP=90°,
∴∠ADP =∠DHP(等量替换),
∴PD=PH,
∴PF=PH;
(2)根据以及得到:
∽,
∴,
∴
∴,
∴
∴;
(3)∵, ,,
∴
∴(勾股定理),
又∵,
∴,
作于,
根据等面积法: ,
∴
∴,
∴ ,
∴,
∴,
又∵△DPE是等腰直角三角形,
∴,
∴.
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【题目】如图,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB =6cm,设B,D两点间的距离为xcm,B,P两点间的距离为y1cm,A,P两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,与x的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 2.49 | 2.64 | 2.88 | 3.25 | 3.80 | 4.65 | 6.00 |
y2/cm | 4.59 | 4.24 | 3.80 | 3.25 | 2.51 | 0.00 |
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,),并画出函数y1,的图象;
(3)结合函数图象,回答下列问题:
①当AP=2BD时,AP的长度约为 cm;
②当BP平分∠ABC时,BD的长度约为 cm.
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【题目】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作,经过时,材料温度降为600℃.如图,煅烧时温度与时间成一次函敷关系:锻造时,温度与时间成反比例函数关系。已知该材料初始温度是32℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时与的函数关系式,并且写出自变量的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于400℃时,须停止操作.那么锻造的操作时间最多有多长?.
(3)如果加工每个零件需要锻造12分钟,并且当材料温度低于400℃时,需要重新煅烧.通过计算说明加工第一个零件,一共需要多少分钟.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BE=16,sinB=,求AF的长.
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【题目】如图,在矩形中,,将矩形对折,得到折痕;沿着折叠,点的对应点为与的交点为;再沿着折叠,使得与重合,折痕为,此时点的对应点为.下列结论:①是直角三角形:②点在同一条直线上;③;④;⑤点是的外心,其中正确的个数为( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】为推进生态文明建设,甲、乙两工程队同时为崂山区的两条绿化带铺设草坪.两队所铺设草坪的面积(米)与施工时间(时)之间关系的近似可以用此图象描述.请结合图象解答下列问题:
(1)从工作2小时开始,施工方从乙队抽调两人对草坪进行灌溉,乙队速度有所降低,求乙队在工作2小时后与的函数关系式;
(2)求乙队降速后,何时铺设草坪面积为甲队的?
(3)乙队降速后,甲乙两队铺设草坪速度之比为 .
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【题目】某社区为了加强社区居民对新型冠状病非肺炎防护知识的了解,通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识,并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试(全国卷)》试卷,社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取名人员的答卷成绩,并对他们的成绩(单位:分)进行统计、分析,过程如下:
收集数据
甲小区:
乙小区:
整理数据
成绩(分) | ||||
甲小区 | ||||
乙小区 |
分析数据
统计量 | 平均数 | 中位教 | 众数 |
甲小区 | |||
乙小区 |
应用数据
(1)填空:_ _;
(2)若甲小区共有人参与答卷,请估计甲小区成绩大于分的人数;
(3)社区管理员看完统计数据,认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好,请你写出社区管理员的理由(至少写出一条) .
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