Question

9．抛物线y=a（x-h）²（h＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，OA=OB，点P为对称轴右侧的抛物线上一点．
（1）如图1，点A的坐标为（4，0）．
          ①求该抛物线的解析式；
          ②点E为AP的中点．若OE∥BP，求点P的坐标；
（2）如图2，延长PA交y轴于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，当点P运动时，求$\frac{OC}{PQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）①由点A的坐标可知h=4，B（0，4），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；②连接BA交OE与点C，依据平行线分线段成比例定理可知C是BA的中点，先求得点C的坐标为（2，2），然后可求得OC的解析式，依据相互平移的直线的k值相等可求得BP的解析式为y=x+4，然后由直线和抛物线的解析式可求得点P的坐标；
（2）由题意可知A（h，0），B（0，h）可求得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=$\frac{1}{h}$（x-h）²．设点P的坐标为（n，$\frac{1}{h}$（n-h）²），利用抛物线的对称性可得到QP=2（n-h）．设直线AP的解析式为y=kx+b，将点A和点P的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{hk+b=0}\\{nk+b=\frac{1}{h}（n-h）^{2}}\end{array}\right.$，可求得直线AP的解析式为y=$\frac{1}{h}$（n-h）x+h-n，从而可求得OC=n-h．

解答 解：（1）①∵点A的坐标为（4，0），
∴h=4．
∴y=a（x-4）²．
∵OA=OB，
∴B（0，4）．
将点B的坐标代入得：4=16a，解得a=$\frac{1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-4）²．

②如图1所示，连接BA交OE与点C．

∵点E为AP的中点，OE∥BP，
∴点C时AB的中点，
∴点C的坐标为（2，2）．
设OE的解析式为y=kx，将点C的坐标代入得：2k=2，解得k=1，
∴直线OE的解析式为y=x．
∴直线BP的解析式为y=x+4．
将y=x+4代入y=$\frac{1}{4}$（x-4）²得$\frac{1}{4}$（x-4）²=x+4，解得：x=12或x=0．
∵点P作对称轴的右侧，
∴x=12．
∵当x=12时，y=16，
∴点P的坐标为（12，16）．

（2）∵y=a（x-h）²（h＞0）与x轴交于点A，
∴A（h，0）．
∵OA=OB，
∴B（0，h）．
将点B的坐标代入得：ah²=h，解得a=$\frac{1}{h}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{h}$（x-h）²．
设点P的坐标为（n，$\frac{1}{h}$（n-h）²）．
∵PQ∥x轴，
∴QP=2（n-h）．
设直线AP的解析式为y=kx+b，将点A和点P的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{hk+b=0}\\{nk+b=\frac{1}{h}（n-h）^{2}}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{h}$（n-h），b=h-n．
设直线AP的解析式为y=$\frac{1}{h}$（n-h）x+h-n．
当x=0时，y=h-n．
∴C（0，h-n）．
∴OC=n-h．
∴$\frac{OC}{PQ}$=$\frac{2（n-h）}{n-h}$=2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求得点C的坐标是解答问题（1）的关键；求得AP的解析式是解答问题（2）的关键．