Question

已知⊙O中，弦AB=AC,点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC。
（1）  如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，求证：点P、C、Q三点在同一直线上。
（2）  如图②，若∠BAC=60º,试探究PA、PB、PC之间的关系。
（3）  若∠BAC=120º时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请探究它们又有何数量关系。

?                      ②                   ③

Answer 1

(1)连接PC，
∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABP=∠ACQ
∵,
∴∠ABP+∠ACP=180°
∴∠ACQ+∠ACP=180°
∴点P、C、Q三点在同一直线上
(2) 把△ABP绕点A逆时针旋转到AB与AC重合得△ACQ，
∵△ABP≌△ACQ
∴CQ="BP," ∠BAP=∠CAQ
∵∠BAC=60º
∴∠PAQ=60º
∵AB=AC
∴△APQ是等边三角形
∴AP=CQ+PC
即AP=PB+PC
(3)(2)中的结论不成立。
∵∠BAC=120º
∴∠PAQ=120º
∴△APQ是等腰三角形
∴PQ=PA
∴AP=CQ+PC
即AP=PB+PC

利用旋转，将△ABP与△ACQ拼成一个三角形。从而求证。