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27、如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.
分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌△COE,∴∠AOE=∠COE=90°,∴BE⊥AC,∴四边形ABCD是菱形;
(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAD=2∠DAO=90°,∴四边形ABCD是正方形.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC(三线合一)
∴四边形ABCD是菱形.

(2)从上易得:△AOE是直角三角形,
∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAO=60°,
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°,
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形ABCD是菱形.
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形.
点评:此题主要考查菱形和正方形的判定.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知平行四边形DEFG与正方形ABCD有一个公共顶点D,G在CB或其延长线上,A在EF所在直线上,又二次函数y=(m-1)x2-(m-2)x-1(m>0)与x轴的两个交点P、Q的横坐标分别为x1,x2,且x1>0,x2>0,正方形AB精英家教网CD的边长a等于点P,Q间的距离.
(1)求m的取值范围;
(2)求a和四边形DEFG的面积S;
(3)若DEFG的一组邻边长分别等于x1,x2,并设
CGCB
=k
,求sin∠E和k.
((2),(3)的结果都用含m的代数式表示)

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD绕点O顺时针旋转交AB,DC于E,F.
(1)证明:四边形BFDE是平行四边形;
(2)BD绕点O顺时针旋转
 
度时,平行四边形BFDE为菱形?请说明理由.

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如图,已知平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P点作MN∥AD,EF∥CD,分别精英家教网交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F,设a=PM•PE,b=PN•PF.
(1)请判断a与b的大小关系,并说明理由;
(2)当
BP
PD
=2
时,求
S平行四边形PEAM
S△ABD
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

23、如图,已知平行四边形ABCD.
(1)用直尺和圆规作出么ABC的平分线BE,交AD的延长线于点E,交DC于点F(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:△ABE是等腰三角形;
(3)在(1)中所得图形中,除△ABE外,请你写出其他的等腰三角形.(不要求证明)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知平行四边形ABCD,作DE⊥AB,垂足为E,把三角形AED沿AB方向平移AB长个单位长度.
(1)作出平移后的图形;
(2)经过这样的平移后,原来的图形变成了什么图形?
(3)这两个图形的面积相等吗?只需给出答案,不必说明理由.

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