Question

9．如图（1），直线y=-x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，求直线DE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-x+3，令x=0，令y=0，分别求得x、y的值即可求得A、B、C的坐标；
（2）过D点作DM⊥x轴于点M，先通过三角形全等求得EM=AO=3，DM=OE，设E（m，0），则OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，把D（m+3，m）代入直线AD的解析式，求得m的值，从而得出D、E的坐标，最后根据待定系数法即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，
令y=0，则0=-x+3，解得x=3，
∴C（3，0），
令x=0，则y=3，
∴A（0，3）；
∴B（3，3）；
（2）如图，过D点作DM⊥x轴于点M，

∵∠EAD=45°，AE⊥ED，
∴AE=ED，∠AEO+∠DEM=90°，
∵∠OAE+∠AEO=90°，
∴∠OAE=∠DEM，
在△AOE与△EMD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠EMD=90°}\\{∠OAE=∠DEM}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△EMD（AAS），
∴EM=AO=3，DM=OE，
设E（m，0），
∴OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，
∴D（m+3，m），
代入直线AD的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+3，得m=-$\frac{1}{2}$（m+3）+3，
解得m=1，
∴D（4，1），E（1，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了直线的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形全等的判定及性质等；本题的关键是根据待定系数法得出解析式．