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(2012•台江区模拟)如图,四边形OABC为直角梯形,OA=4,BC=3,OC=4. 点M从O 出发向A运动;点N从B同时出发,向C运动,速度均为每秒1个单位长度.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ、OQ,设运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示PQ的长.
(2)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.
(3)设E、F分别是OQ、PQ的中点,求整个运动过程中,线段EF所扫过的面积.
分析:(1)先判定△OAC是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=45°,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ACB=45°,再表示出CN,根据等腰直角三角形的性质可得NQ=CN,然后根据PQ=NP-CN代入整理即可得解;
(2)分①AQ=AM时,根据等腰三角形三线合一可得AP=
1
2
AM,然后列式求解即可,②AM=QM时,点M、P重合,然后列出方程求解即可;
(3)分开始运动时求出AP、OP的长,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF的长,再求出PF的长,运动停止时点N、Q与点C重合,点E为OC的中点E′,然后求出此时点E′到EF的距离,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.
解答:解:(1)∵OA=4,OC=4,
∴△OAC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵OA∥BC,
∴∠ACB=∠OAC=45°,
∴△CNQ是等腰直角三角形,
∴NQ=CN=3-t,
∴PQ=NP-CN=4-(3-t)=t+1;

(2)①AQ=AM时,AM=4-t,
根据等腰三角形三线合一的性质,AP=
1
2
AM=
1
2
(4-t),
∵∠OAC=45°,NP⊥OA于P,
∴AP=PQ,
1
2
(4-t)=t+1,
解得t=
2
3

此时OM=
2
3

所以,点M的坐标为(
2
3
,0),
②AM=QM时,点M、P重合,
∴AM=AP=PQ,
∴4-t=t+1,
解得t=
3
2

此时OM=
3
2

所以,点M的坐标为(
3
2
,0),
综上所述,存在点M(
2
3
,0)或(
3
2
,0),使得△AQM为直角三角形;

(3)如图,开始运动时,OP=BC=3,
AP=OA-BC=4-3=1,
∴PQ=AP=1,
∵E、F分别是OQ、PQ的中点,
∴PF=
1
2
PQ=
1
2
×1=
1
2

EF=
1
2
OP=
1
2
×3=
3
2

运动停止时,点N、Q与点C重合,
此时点E、F重合,为OC的中点E′,
点E′到EF的距离为
1
2
OC-PF=
1
2
×4-
1
2
=2-
1
2
=
3
2

∴线段EF所扫过的面积=
1
2
×
3
2
×
3
2
=
9
8
点评:本题考查了相似形综合题,主要利用了等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,(2)注意要分情况讨论,(3)确定出EF所扫过的面积是三角形的面积是解题的关键.
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