Question

（2012•台江区模拟）如图，四边形OABC为直角梯形，OA=4，BC=3，OC=4． 点M从O 出发向A运动；点N从B同时出发，向C运动，速度均为每秒1个单位长度．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、OQ，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示PQ的长．
（2）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
（3）设E、F分别是OQ、PQ的中点，求整个运动过程中，线段EF所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）先判定△OAC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=45°，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=45°，再表示出CN，根据等腰直角三角形的性质可得NQ=CN，然后根据PQ=NP-CN代入整理即可得解；
（2）分①AQ=AM时，根据等腰三角形三线合一可得AP=

1

2

AM，然后列式求解即可，②AM=QM时，点M、P重合，然后列出方程求解即可；
（3）分开始运动时求出AP、OP的长，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF的长，再求出PF的长，运动停止时点N、Q与点C重合，点E为OC的中点E′，然后求出此时点E′到EF的距离，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵OA=4，OC=4，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵OA∥BC，
∴∠ACB=∠OAC=45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ=CN=3-t，
∴PQ=NP-CN=4-（3-t）=t+1；

（2）①AQ=AM时，AM=4-t，
根据等腰三角形三线合一的性质，AP=

1

2

AM=

1

2

（4-t），
∵∠OAC=45°，NP⊥OA于P，
∴AP=PQ，
∴

1

2

（4-t）=t+1，
解得t=

2

3

，
此时OM=

2

3

，
所以，点M的坐标为（

2

3

，0），
②AM=QM时，点M、P重合，
∴AM=AP=PQ，
∴4-t=t+1，
解得t=

3

2

，
此时OM=

3

2

，
所以，点M的坐标为（

3

2

，0），
综上所述，存在点M（

2

3

，0）或（

3

2

，0），使得△AQM为直角三角形；

（3）如图，开始运动时，OP=BC=3，
AP=OA-BC=4-3=1，
∴PQ=AP=1，
∵E、F分别是OQ、PQ的中点，
∴PF=

1

2

PQ=

1

2

×1=

1

2

，
EF=

1

2

OP=

1

2

×3=

3

2

，
运动停止时，点N、Q与点C重合，
此时点E、F重合，为OC的中点E′，
点E′到EF的距离为

1

2

OC-PF=

1

2

×4-

1

2

=2-

1

2

=

3

2

，
∴线段EF所扫过的面积=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

9

8

．

点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，（2）注意要分情况讨论，（3）确定出EF所扫过的面积是三角形的面积是解题的关键．