Question

如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围；
（2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；
（3）探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，解直角△DAF可得DF=

3

，又FB=4-t，当GF=FB时，四边形FBCG为正方形，即

3

=4-t，G、C重合之前，始终有GE∥OE，DG∥OE，故当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形；
（2）解直角△EFG得GF=

3

，EF=1，又AD=2，∴点D、C的坐标分别是（1，

3

），（5，

3

），抛物线经过原点，可求抛物线解析式；
（3）梯形ABCD面积可求，△ABQ的底边AB为已知，由此可求AB边上的高，即点Q的纵坐标，根据抛物线解析式求横坐标，进一步求出E点位置，可得出运动时间t．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF=

3

，
当t=4-

3

时，四边形FBCG为正方形．
当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形．

（2）点D、C的坐标分别是（1，

3

），（5，

3

），
∵抛物线经过原点O（0，0），
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将D、C两点坐标代入得

a+b= 3 25a+5b= 3

，
解得

a=- 3 5 b= 6 5 3

，
∴抛物线的解析式为y=-

3

5

x²+

6 3

5

x；

（3）∵点Q在抛物线上，
∴点Q（x，-

3

5

x²+

6 3

5

x），
过点Q作QM⊥x轴于点M，又B（5，0），
则S_△ABQ=

1

2

AB•QM=

5

2

|-

3

5

x²+

6 3

5

x|=

1

2

|-

3

x²+6

3

x|；
又S_{四边形ABCD}=（4+5）×

3

×

1

2

=

9

2

3

，
令

1

2

|-

3

x²+6

3

x|=

9

2

3

，
∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方，
∴-x²+6x=9解得x=3，
当x=3时，y=-

3

5

×9+

6 3

5

×3=

9

5

3

，
∵∠QEM=60°，
∴EM=

MQ

tan60°

=

9

5

3

÷

3

=

9

5

，
∴t=3-

9

5

=

6

5

（秒）．
即存在这样的时刻t，当t=

6

5

秒时，△AQB的面积与梯形ABCD的面积相等．

点评：本题考查了四边形的判定方法，点的坐标及抛物线解析式的求法，并用面积法探讨了一些实际问题，具有较强的综合性．