Question

20．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanA=$\frac{1}{2}$，AC=3$\sqrt{5}$
（1）求∠B的度数与AB的值；
（2）求tan∠CDB．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=$\sqrt{5}$x，所以$\sqrt{5}$x=3$\sqrt{5}$，解得x=3，于是得到CE=3，AE=6，接着利用sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得到∠B=45°，则BE=CE=3，最后计算AE+BE得到AB的长，
（2）利用CD为中线得到BD=$\frac{1}{2}$AB=4.5，则DE=BD-BE=1.5，然后根据正切的定义求解．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，
在Rt△ACE中，∵tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2x，
∴AC=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=3$\sqrt{5}$，解得x=3，
∴CE=3，AE=6，
在Rt△BCE中，∵sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，
∴AB=AE+BE=9，
答：∠B的度数为45°，AB的值为9；

（2）∵CD为中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4.5，
∴DE=BD-BE=4.5-3=1.5，
∴tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{3}{1.5}$=2，
即tan∠CDB的值为2．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．