Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b²-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．
解答：（1）解：把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；（5分）

（3）解：抛物线顶点的坐标为，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴，
∴．（7分）
∴，（8分）
要使S_△AMB最小，只须使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（10分）
点评：考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．