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如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于精英家教网点F.
问:(1)图中△APD与哪个三角形全等?试证明之;
(2)△APE与哪个三角形相似?试证明之;
(3)如果PE=4,EF=5,求线段PC的长.
分析:(1)△APD与△CPD全等.根据菱形的性质可以找到全等条件;
(2)△APE∽△FPA,根据(1)的结论知道∠DCP=∠DAP,而根据CD∥AF得到∠F=∠DAP,这样就可以证明它们相似;(3)根据(1),(2)可以得到PC=PA=
PE•PF
=6
解答:解:(1)△APD≌△CPD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=DA,∠CDP=∠ADP,DP公共.
∴△APD≌△CPD.

(2)△APE∽△FPA.
∵根据(1)的结论知道∠DCP=∠DAP,而CD∥AF,
∴∠F=∠DAP,
由(1)△APD≌△CPD,可得∠DCR=∠DAP,
∴∠F=∠DCP,
∴APE∽△FPA.

(3)根据(1),(2)可以得到PC=PA=
PE•PF
=6
点评:此题主要考查了菱形、相似三角形和全等三角形的性质与判定.
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(1)求证:∠DCP=∠DAP;

(2)若AB=2,DP∶PB=1∶2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.

 

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