分析 (1)根据同弧所对的圆周角相等得到角相等,从而证得三角形相似,于是得到结论;
(2)如图2,连接CD,OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB,且AF=CF=0.5AC.证得△CBF∽△ABD.即可得到结论;
(3)如图3,连接AO并延长交⊙O于F,连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°,过O作OH⊥AD于H,根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4,通过△ABE∽△ADF,得到1=∠2,于是结论可得.
解答 (1)证明:∵∠EAD=∠EBC,∠BCE=∠ADE,
∴△AED∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$,
∴EA•EC=EB•ED;
(2)证明:如图2,连接CD,OB交AC于点F
∵B是弧AC的中点,
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB,且AF=CF=0.5AC.
又∵AD为⊙O直径,
∴∠ABD=90°,又∠CFB=90°.
∴△CBF∽△DAB.
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{AD}$,故CF•AD=BD•BC.
∴AC•AD=2BD•BC;
(3)解:如图3,连接AO并延长交⊙O于F,连接DF,
∴AF为⊙O的直径,
∴∠ADF=90°,
过O作OH⊥AD于H,
∴AH=DH,OH∥DF,
∵AO=OF,
∴DF=2OH=4,
∵AC⊥BD,
∴∠AEB=∠ADF=90°,
∵∠ABD=∠F,
∴△ABE∽△ADF,
∴∠1=∠2,
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$,
∴BC=DF=4.
点评 本题考查了圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,三角形的中位线的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
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