Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴和y轴分别交于点A（-4，0）和点B（0，2），过点B作BC⊥AB交抛物线于点C，连接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的长；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得PA=PB？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，可得AB的长，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据两点间的距离，可得两个方程，根据解方程，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据线段垂直平分线的性质，可得P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的关系，可得AB的线段垂直平分线，根据解方程组，可得P点坐标．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB=90°，
∵∠CAB=∠BAO，
∴△CAB∽△BAO，
∴$\frac{BC}{BO}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{BC}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
BC=$\sqrt{5}$；
（2）设C点坐标为（m，n），由勾股定理，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
AC²=25，BC²=5，即$\left\{\begin{array}{l}{（m+4）^{2}+{n}^{2}=25}\\{{m}^{2}+（n-2）^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得m=-1，m=1（舍），n=4，
即C点坐标（-1，4）．
将A，B，C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{17}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x²-$\frac{17}{6}$x+2；
（3）AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，AB的中点坐标为（-2，1），
AB的垂直平分线为y=-2x+b，将（-2，1）代入，解得b=-3，
AB的垂直平分线为y=-2x-3，
联立AB的垂直平分线与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{6}{x}^{2}-\frac{17}{6}x+2}\\{y=-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{7}{2}}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
抛物线上存在点P，使得PA=PB，P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-6），（-$\frac{7}{2}$，4）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用相似三角形的判定与性质；解（2）的关键是利用两点间的距离求出C点坐标，又利用了待定系数法；解（3）的关键是确定P是AB的垂直平分线与抛物线的交点，又利用了解方程组．