【题目】图1是一个高脚杯截面图,杯体呈抛物线状(杯体厚度不计),点是抛物线的顶点,,点是的中点,当高脚杯中装满液体时,液面,此时最大深度(液面到最低点的距离)为,将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体,当时停止,此时液面为,则液面到平面的距离是________________;此时杯体内液体的最大深度为_____________________.
【答案】
【解析】
作CD的垂线FG,DF绕F旋转后为FP,作PH垂直EF的延长线于H,利用三角函数和差公式计算出,从而求得,进而求解.
建立直角坐标系,在DG下方的抛物线上任取一点Q,过点Q作y轴的平行线交DG于点P,过点Q作DG的垂线QM,垂足为M.求出直线DG及抛物线解析式,利用三角形DGQ的面积作为桥梁可求出QM的最大值,即杯体内液体的最大深度.
解:如图:作CD的垂线FG,DF绕F旋转后为FP,作PH垂直EF的延长线于H,
由题意可知:FG=21,DG=,
所以DF=,
所以
所以=,
所以=
所以PH=FP==,
液面到平面的距离是;
如图3,建立直角坐标系,在DG下方的抛物线上任取一点Q,过点Q作y轴的平行线交DG于点P,过点Q作DG的垂线QM,垂足为M,
由题意可知DG绕F点顺时针旋转后与水平方向平行,所以旋转前DG与水平方向的夹角为,设直线DG的解析式为y=kx+b,
由题意可知,点D的坐标为,
,
所以,
设抛物线的解析式为,经过点D,
所以a=1,
所以,
由得点G的坐标为,
设Q的坐标为,点P的坐标为,
所以PQ==,
当时,PQ有最大值为,
又因为=,
所以当PQ取最大值时,有最大值=,
=,
又因为=,
所以当有最大值时,QM有最大值,
,
所以QM=
所以旋转后杯体内液体的最大深度为,
故答案是:;.
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【题目】某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅,已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元,餐桌零售价270元/张,餐椅零售价70元/张.已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同.
(1)求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元?
(2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.该商场计划将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,售价500元/套,其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问该商场怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】某超市购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来40天的销售单价p(元/kg)与时间 t(天)之间的函数表达式为p=t+30;(1≤t≤40,t为整数),试销售当天(正式销售前一天)售出400kg,之后每天销售量比前一天减少5千克;
(1)试求每天销售利润W1(元)与时间t(天)之间的函数关系式;
(2)在销售前20天里,何时利润为4320元?
(3)为回馈新老顾客的支持,在实际销售中,超市决定每销售1kg水果就捐赠2元利润给“精准扶贫”对象.在日销售量不低于300kg的情况下,何时超市获利最多?
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【题目】小李经营一个社区快递网点,负责周边快件收发,由于疫情原因,到2020年2月12 日网点才可以复工,而该网点的另外两名员工因为办理复工手续,将分别在2月15日和2月26日返岗,工作据大数据显示,预计从复工之日开始,每日到达该网点的快件数量(件)与第天(2月12日为第天)满足:.已知一位快递员日均派送快件量为件,通过加班最高可派送件.
前三天小李派送的快件总量为_ 件;
以最高派送量派送快件还有剩余时,则当天剩余快件留到第二天优先派送,
①到第十天结束时,滞留的快件共有 件; 到第十四天结束时,滞留的快件共有__件;
②2月18日后快递激增爆仓,小李和员工每天加班派送,根据现有快递数量的变化趋势,从2月19日开始计算,小李至少要加班几天才可以不用加班派送.(即小李不加班派送的情况下,快递点没有滞留件)
到了3月5日,全国疫情稳定,预计每日到达网点的快件数量将按新趋势变化,“女神节”期间(3月6日-9日)日均快件量为件,3月10日起日均快件量稳定在件.此时小李接到快递总公司新规定:从3月10日开始,到达的快件必须当天派送完毕,否则将扣除滞留快件滞留费元/件天(之前滞留的快件从3月10日0时开始收取滞留费)为此,小李想到从市场招聘____名临时工帮助派送快递,若临时工基本工资元/天,外加派送费元/件临时工一天最多可派送快件件,为了将支出降到最低,小李应该聘请临时工几天,派送快件共多少件?此时最低支出多少元钱?直接写出你的答案.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k>c﹣n;④当n=﹣时,△ABP为等腰直角三角形.其中正确结论是______(填写序号).
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【题目】对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数m为“平方和数”,若m=a2+b2(a、b为正整数),记A(m)=ab.例如:29=22+52,29就是一个“平方和数”,则A(29)=2×5=10.
(1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算A(25)的值;若不是,请说明理由;
(2)若k是一个“平方和数”,且A(k)=,求k的值.
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【题目】为了解疫情对精神负荷造成的影响,某机构分别在一线城市和三线城市的志愿者中随机选取了50人参加LES测试,根据志愿者的答题情况计算出LES得分,并对得分进行整理,描述和分析,部分信息如下:
一、三线城市志愿者得分统计表
城市 | 中位数 | 平均数 |
一线城市 | a | 17.6 |
三线城市 | 14 | 17.2 |
注:一线城市在14<x≤20中的得分是:15,15,16,17,17,17,17,18,18,20.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中a的值为 ;
(2)得分越低反映个体承受的精神压力越小,排名越靠前,在这次调查中,一线城市的志愿者甲和三线城市的志愿者乙的得分均为15分,请判断甲、乙在各自城市选取的志愿者中得分排名谁更靠前,并说明理由;
(3)如果得分超过平均数就需要进行心理干预,请估计一线城市全部2000名志愿者中有多少人需要进行心理干预?
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