Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1 ， 0），C（x2 ， 0）三点，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），

∴c=﹣4

又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，

∴x1+x2=b，x1x2=6

由已知得（x2﹣x1）2=25

又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24

∴b2﹣24=25

解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．

∴b=﹣．

（2）

∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，

又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，

∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．

（3）

∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与

抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，

∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，

∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．

四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上.

【解析】（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．