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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c,经过A(0,﹣4),B(x1 , 0),C(x2 , 0)三点,且|x2﹣x1|=5.

(1)求b,c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+c,经过点A(0,﹣4),

∴c=﹣4

又∵由题意可知,x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根,

∴x1+x2=b,x1x2=6

由已知得(x2﹣x12=25

又∵(x2﹣x12=(x2+x12﹣4x1x2=b2﹣24

b2﹣24=25

解得b=±,当b=时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.

∴b=﹣


(2)

∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上,

又∵y=﹣x2x﹣4=﹣(x+2+

∴抛物线的顶点(﹣)即为所求的点D.


(3)

∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(﹣6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=﹣3与

抛物线y=﹣x2x﹣4的交点,

∴当x=﹣3时,y=﹣×(﹣3)2×(﹣3)﹣4=4,

∴在抛物线上存在一点P(﹣3,4),使得四边形BPOH为菱形.

四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(﹣3,3),但这一点不在抛物线上.


【解析】(1)把A(0,﹣4)代入可求c,运用两根关系及|x2﹣x1|=5,对式子合理变形,求b;
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分,故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上,满足条件的D点,就是抛物线的顶点;
(3)由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,可得PH垂直平分OB,求出OB的中点坐标,代入抛物线解析式即可,再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系,判断是否为正方形即可.

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训练后篮球定点投篮测试进球统计表

进球数(个)

8

7

6

5

4

3

人数

2

1

4

7

8

2

请你根据图表中的信息回答下列问题:

(1)训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个;
(2)选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ,该班共有同学 人;
(3)根据测试资料,参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%,求参加训练之前的人均进球数.

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