Question

12．综合与探究
如图（1），线段AB的两个端点的坐标分别为（-12，4），（0，10），点P从点B出发，沿BA方向匀速向点A运动；同时，点Q从坐标原点O出发，沿x轴的反方向以相同的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象如图（2）所示．
（1）求点P的运动速度；
（2）求面积S与t的函数关系式及当S取最大值时点P的坐标；
（3）点P时S取最大值时的点，设点M为x轴上的点，点N为坐标平面内的点，以点O，P，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出AB的长，根据速度=$\frac{路程}{时间}$，计算即可；
（2）由Rt△ADB∽Rt△PCB，可得$\frac{PC}{AD}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BC}{BD}$，推出$\frac{PC}{12}$=$\frac{\sqrt{5}t}{6\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{6}$，可得PC=2t，BC=t，推出OC=10-t，推出点P的坐标为（-2t，10-t），OQ=$\sqrt{5}$t，推出S=$\frac{1}{2}$•OQ•PE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$t•（10-t），利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）分两种情形讨论求解；

解答 解：（1）作PC⊥OB于C，AD⊥OB于D，PE⊥OQ于E．
∵A（-12，4），B（0，10），
∴AD=12，OD=4，0B=10，
∴BD=6，
在Rt△ADB中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
由图象可知，点P运动时间为6秒，
∴点P的运动速度为6$\sqrt{5}$÷6=$\sqrt{5}$（长度单位/秒）．

（2）设点P运动了t秒，则BP=OQ=$\sqrt{5}$t，
∵∠PBC=∠ABD，∠ADB=∠PCB=90°，
∴Rt△ADB∽Rt△PCB，
∴$\frac{PC}{AD}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{PC}{12}$=$\frac{\sqrt{5}t}{6\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{6}$，
∴PC=2t，BC=t，
∴OC=10-t，
∴点P的坐标为（-2t，10-t），OQ=$\sqrt{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OQ•PE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$t•（10-t），
∴S=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t²+5$\sqrt{5}$t=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（t-5）²+$\frac{25\sqrt{5}}{2}$（0≤t≤6），
∵-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜0，
∴当t=5时，S取得最大值，
此时-2t=-10，10-t=10-5=5，即点P的坐标为（-10，5），
综上所述，△OPQ的面积S与t的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t²+5$\sqrt{5}$t（0≤t≤6），
当面积最大时，点P的坐标为（-10，5）．

（3）如图，

①当PM₁⊥x轴，PN₁⊥y轴时，四边形PM₁ON₁是矩形，此时N₁（0，5）．
②当PM₂⊥OP时，可得四边形PM₂N₂O是矩形，
∵直线OP的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
∴直线PM₂的解析式为y=2x+25，可得M₂（-12.5，0），设N₂（m，n），
则有$\frac{-10+m}{2}$=$\frac{-12.5+0}{2}$，$\frac{5+n}{2}$=0，
∴m=-$\frac{5}{2}$，n=-5，
∴N₂（-$\frac{5}{2}$，-5），
综上所述，满足条件是点N₁（0，5），N₂（-$\frac{5}{2}$，-5）．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、一次函数的应用、中点坐标公式、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．