Question

20．如图，AB为半圆的直径，弧AC为弧CB的两倍，OH⊥AC于点H，BH与OC交于E，己知AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求$\frac{BE}{BH}$；
（2）求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接BC，根据三角形的中位线的性质得到OH=$\frac{1}{2}$BC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠BOC=60°，由三角形的内角和得到∠A=30°，解直角三角形得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）连接BC，
∵OH⊥AC，
∴OH∥BC，AH=CH，
∵AO=BO，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC，
∴△OHE∽△BCE，
∴$\frac{BE}{HE}=\frac{BC}{OH}$=2，
∴$\frac{BE}{BH}$=$\frac{2}{3}$；

（2）∵弧AC为弧CB的两倍，
∴∠AOC=2∠BOC，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，
∴OB=OC=2，
∵OH∥BC，
∴S_阴影=S_扇形BOC=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及图形面积求法，根据已知得出阴影部分面积之和等于S_扇形BOC是解题关键．