问题提出:(1)如图1.在正方形ABCD中.M是BC边上任意一点.P是BC延长线上一点.N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°.求证:AM=MN．下面给出一种证明的思路.你可以按这一思路证明.也可以选择另外的方法证明．证明:在边AB上截取AE=MC.连接ME．正方形ABCD中.∠B=∠BCD=90°.AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．问题提出：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，即∠NMC=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
问题探究：（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
解决问题：（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=$\frac{（n-2）180°}{n}$时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

分析（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN；
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN；
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角，即等于$\frac{（n-2）180°}{n}$时，结论AM=MN仍然成立．

解答解：（1）证明：如图1，在边AB上截取AE=MC，连接ME．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，
∴∠AEM=135°，
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°，
∴∠MCN=135°，
在△AEM与△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠NMC}\\{AE=MC}\\{∠AEM=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

（2）结论AM=MN还成立，
证明：如图2，在边AB上截取AE=MC，连接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°，
∴∠MCN=120°，
在△AEM与△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠NMC}\\{AE=MC}\\{∠AEM=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

（3）∵当AM=MN时，△AEM≌△MCN，
此时∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°-∠NMC-∠AMB，∠MAE=180°-∠BAM-∠AMB，
∴∠AMN=∠B=$\frac{（n-2）180°}{n}$，
∴将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，则
当∠AMN=$\frac{（n-2）180°}{n}$时，结论AM=MN仍然成立．
故答案为：$\frac{（n-2）180°}{n}$．

点评本题属于四边形综合题，主要考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等进行证明．解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

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