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    （2013•郑州模拟）（1）问题背景
    如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）
    结论：线段BD与CE的数量关系是
    BD=2CE
    BD=2CE
    （请直接写出结论）；
    （2）类比探索
    在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
    （3）拓展延伸
    在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．
    结论：BD=
    2n
    2n
    CE（用含n的代数式表示）．
    分析：（1）延长CE、BA交于F点，先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CF=2CE，然后证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE；
    （2）延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB=AC即可得出BD=CG=2CE；
    （3）同（2），延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB=nAC即可得出BD=CG=2nCE．
    解答：解：（1）BD=2CE．理由如下：
    如图1，延长CE、BA交于F点．
    ∵CE⊥BD，交直线BD于E，
    ∴∠FEB=∠CEB=90°．
    ∵BD平分∠ABC，
    ∴∠1=∠2，
    ∴∠F=∠BCF，
    ∴BF=BC，
    ∵BE⊥CF，
    ∴CF=2CE．
    ∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
    ∴∠CBA=45°，
    ∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
    ∴∠ADB=67.5°，
    ∵在△ADB和△AFC中，
    ∠ADB=∠F
    ∠BAD=∠CAF
    AB=AC
    ，
    ∴△ADB≌△AFC（AAS），
    ∴BD=CF，
    ∴BD=2CE；

     （2）结论BD=2CE仍然成立．理由如下：
    如图2，延长CE、AB交于点G．
    ∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
    ∴∠3=∠4，
    又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
    ∴△GBE≌△CBE（ASA），
    ∴GE=CE，
    ∴CG=2CE．
    ∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
    ∴∠D=∠G，
    又∵∠DAB=∠GAC=90°，
    ∴△DAB∽△GAC，
    ∴
    BD
    CG
    =
    AB
    AC
    ，
    ∵AB=AC，
    ∴BD=CG=2CE；

    （3）BD=2nCE．理由如下：
    如图3，延长CE、AB交于点G．
    ∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
    ∴∠3=∠4，
    又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
    ∴△GBE≌△CBE（ASA），
    ∴GE=CE，
    ∴CG=2CE．
    ∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
    ∴∠D=∠G，
    又∵∠DAB=∠GAC=90°，
    ∴△DAB∽△GAC，
    ∴
    BD
    CG
    =
    AB
    AC
    ，
    ∵AB=nAC，
    ∴BD=nCG=2nCE．
    故答案为BD=2CE；2n．
    点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．题目比较好，综合性也比较强．
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