【题目】定义:连接抛物线上两点的线段叫抛物线的弦,在这两点之间抛物线上的任意一点P与此两点构成的三角形称作抛物线的弦三角,点P称作弦锥,设点P的横坐标为x.
已知抛物线经过A(1,2)、B(m,n)、C(3,﹣2)三点,P是抛物线上AC之间的一点,以AC为弦的弦三角为△PAC.
(1)图一,当m=2,n=1时,求该抛物线的解析式,若x=k1时△PAC的面积最大,求k1的值.
(2)图二,当m=2,n≠1时,用n表示该抛物线的解析式,若x=k2时△PAC的面积最大,求k2的值.k1与k2有何数量关系?
(3)图三,当m≠2,n≠1时,用m,n表示该抛物线的解析式,若x=k3时△PAC的面积最大,求k3的值.观察图1,2,3,过定点A、C,根据B在各种不同位置所得计算结果,你发现通过两个定点的抛物线系中,以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时,弦锥的横坐标有何规律?
【答案】(1)y=﹣x2+2x+1,k1=2;(2)y=﹣nx2+(4n﹣2)x+(4﹣3n),k2=2,k1=k2;(3),k3=2,弦锥的横坐标均相等.
【解析】
(1)根据待定系数法求解即可;过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,如图4,易求出直线AC的解析式,由于点P的横坐标为k1,则其纵坐标和点E的纵坐标可得,于是PE的长可用k1的代数式表示,然后利用可得△PAC的面积关于k1的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可;
(2)先根据待定系数法求出抛物线的解析式,根据点B的位置需分情况讨论:①若n>0,如图4,仿(1)题的思路用k2的代数式表示出PE的长,然后利用可得△PAC的面积关于k2的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可;②若n<0,如图5,仿①的思路可得,进而可用k2的代数式表示出△PAC的面积,再利用二次函数的性质求解即可;进一步即可比较k1与k2的数量关系;
(3)先根据待定系数法求出抛物线的解析式,然后仿(2)题的思路分两种情况可得△PAC的面积关于k3的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可,然后根据前面3个小题的结果即可得出弦锥的横坐标的规律.
解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
(1)当m=2,n=1时,把A(1,2)、B(2,1)、C(3,﹣2)代入,得,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+1,
∵A(1,2)、C(3,﹣2),∴直线AC的解析式为y=﹣2x+4,
∵P(k1,﹣k12+2k1+1),过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点E(k1,﹣2k1+4),
∴,
∴,
∴当k1=2时,△PAC的面积最大;
(2)当m=2,n≠1时,把A(1,2)、B(2,n)、C(3,﹣2)代入,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣nx2+(4n﹣2)x+(4﹣3n),
①若n>0,∵P(k2,﹣nk22+(4n﹣2)k2+(4﹣3n)),过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点E(k2,﹣2k2+4),
∴=﹣nk22+(4n﹣2)k2+(4﹣3n)+2k2-4=﹣nk22+4nk2﹣3n,
∴,
∴当k2=2时,△PAC的面积最大;
②若n<0,如图5,则=﹣2k2+4+nk22-(4n﹣2)k2-(4﹣3n)=nk22-4nk2+3n,
∴,
∴当k2=2时,△PAC的面积最大;
综上,当k2=2时,△PAC的面积最大;
∴k1=k2;
(3)当m≠2,n≠1时,把A(1,2)、B(m,n)、C(3,﹣2)代入,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:,
则P(k3,),
①若,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点E(k3,﹣2k3+4),
∴==,
∴,
∴当k3=2时,△PAC的面积最大;
②若,如图5,则=,
∴,
∴当k3=2时,△PAC的面积最大;
综上,当k3=2时,△PAC的面积最大;
综上所述,过定点A、C,根据B在各种不同位置所得计算结果,可以发现通过两个定点的抛物线系中,以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时,弦锥的横坐标均相等.
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【题目】如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,使点P′在△ABC内,已知∠AP′B=135°,若连接P′C,P′A:P′C=1:4,则P′A:P′B=( )
A.1:4B.1:5C.2:D.1:
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【题目】如图(1)是某公园里的一种健身器材,其侧面示意图如图(2)所示,其中AB=AC=120cm,BC=80cm,AD=30cm,∠DAC=90°.求点D到地面的高度是多少?
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【题目】如图,先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系,再完成下面问题:
(1)若一个多边形是七边形,它的对角线条数为 ,n边形的对角线条数为t= (用n表示).
(2)求正好65条对角线的多边形是几边形.
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【题目】小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2,3,4(背面完全相同),现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为6的概率.
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由.
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【题目】在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点及点O都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点).
(1)以点O为位似中心,在网格区域内画出△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC位似(A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点),且位似比为2:1;
(2)△A′B′C′的面积为 个平方单位;
(3)若网格中有一格点D′(异于点C′),且△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积,请在图中标出所有符合条件的点D′.(如果这样的点D′不止一个,请用D1′、D2′、…、Dn′标出)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,若AC∥EF,试判断线段KG、KD、GE间的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=2,求⊙O的半径.
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【题目】已知,如图,有一块含有30°的直角三角形的直角边的长恰与另一块等腰直角三角形的斜边的长相等.把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且
(1)若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点,请写出一个满足条件的抛物线的解析式.
(2)若把含30°的直角三角形绕点按顺时针方向旋转后,斜边恰好与轴重叠,点落在点,试求图中阴影部分的面积(结果保留)
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