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【题目】定义:连接抛物线上两点的线段叫抛物线的弦,在这两点之间抛物线上的任意一点P与此两点构成的三角形称作抛物线的弦三角,点P称作弦锥,设点P的横坐标为x

已知抛物线经过A12)、Bmn)、C3,﹣2)三点,P是抛物线上AC之间的一点,以AC为弦的弦三角为△PAC.

1)图一,当m2n1时,求该抛物线的解析式,若xk1时△PAC的面积最大,求k1的值.

2)图二,当m2n1时,用n表示该抛物线的解析式,若xk2时△PAC的面积最大,求k2的值.k1k2有何数量关系?

3)图三,当m2n1时,用mn表示该抛物线的解析式,若xk3时△PAC的面积最大,求k3的值.观察图123,过定点AC,根据B在各种不同位置所得计算结果,你发现通过两个定点的抛物线系中,以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时,弦锥的横坐标有何规律?

【答案】1y=﹣x2+2x+1k12;(2y=﹣nx2+4n2x+43n),k22k1k2;(3k32,弦锥的横坐标均相等.

【解析】

1)根据待定系数法求解即可;过点PPDx轴于点D,交直线AC于点E,如图4,易求出直线AC的解析式,由于点P的横坐标为k1,则其纵坐标和点E的纵坐标可得,于是PE的长可用k1的代数式表示,然后利用可得△PAC的面积关于k1的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可;

2)先根据待定系数法求出抛物线的解析式,根据点B的位置需分情况讨论:n>0,如图4,仿(1)题的思路用k2的代数式表示出PE的长,然后利用可得PAC的面积关于k2的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可;n<0,如图5,仿的思路可得,进而可用k2的代数式表示出PAC的面积,再利用二次函数的性质求解即可;进一步即可比较k1k2的数量关系;

3)先根据待定系数法求出抛物线的解析式,然后仿(2)题的思路分两种情况可得△PAC的面积关于k3的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可,然后根据前面3个小题的结果即可得出弦锥的横坐标的规律.

解:设抛物线的解析式为yax2+bx+c

1)当m2n1时,把A12)、B21)、C3,﹣2)代入,得,解得:

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+1

A12)、C3,﹣2),∴直线AC的解析式为y=﹣2x+4

Pk1,﹣k12+2k1+1),过点PPDx轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点Ek1,﹣2k1+4),

∴当k12时,△PAC的面积最大;

2)当m2n≠1时,把A12)、B2n)、C3,﹣2)代入,得:

,解得:

∴抛物线的解析式为:y=﹣nx2+4n2x+43n),

①若n>0,∵Pk2,﹣nk22+4n2k2+(43n)),过点PPDx轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点Ek2,﹣2k2+4),

=nk22+4n2k2+(43n)+2k24=nk22+4nk23n

∴当k22时,△PAC的面积最大;

②若n<0,如图5,则=2k2+4+nk22-(4n2k2(43n)=nk224nk2+3n

∴当k22时,△PAC的面积最大;

综上,当k22时,△PAC的面积最大;

k1k2

3)当m≠2n≠1时,把A12)、Bmn)、C3,﹣2)代入,得:

,解得:

∴抛物线的解析式为:

Pk3),

①若,过点PPDx轴于点D,交直线AC于点E,如图4,则点Ek3,﹣2k3+4),

==

∴当k32时,△PAC的面积最大;

②若,如图5,则=

∴当k32时,△PAC的面积最大;

综上,当k32时,△PAC的面积最大;

综上所述,过定点AC,根据B在各种不同位置所得计算结果,可以发现通过两个定点的抛物线系中,以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时,弦锥的横坐标均相等.

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