Question

17．如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据翻转的性质可知△ABE≌△AFE，由于AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，于是得到DC=AB=8，BC=AD，根据勾股定理得到BC=AD=$\sqrt{A{F}^{2}{-DF}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，根据已知求得∠1=∠2=30°，设BE=x，则EF=x，CE=4$\sqrt{3}$-x，由勾股定理列方程解得BE=x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，根据折叠的性质得到AG=A′G，AH=A′H，证出△AGA′是等边三角形，推出△AGE≌△AA′E，得到GE=A′E，当△A′GE是直角三角形时，只能∠A′EG=90°，于是得到△A′EG是等腰直角三角形，设AH=y，则AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB-AA′=8-2y，再根据勾股定理列方程即可得到结果．

解答 解：如图所示，根据翻转的性质可知：△ABE≌△AFE，
∵AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，
有已知得：DC=AB=8，BC=AD，
∵F是DC的中点，DF=CF=$\frac{1}{2}$DC=4，
∴BC=AD=$\sqrt{A{F}^{2}{-DF}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵∠D=90°，AF=2DF，
∴∠1=30°，
∴∠BAF=60°，
∴∠1=∠2=30°，
设BE=x，则EF=x，CE=4$\sqrt{3}$-x，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，
即${x}^{2}=（4\sqrt{3}-x）^{2}+16$，
解得：BE=x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵矩形沿GH翻折，点A落在线段BH上点A′处，
∴AG=A′G，AH=A′H，
∵∠BAF=60°，
∴△AGA′是等边三角形，
∴AG=AA′，
在△AGE与△AA′E中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AA′}\\{∠2=∠3}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AA′E，
∴GE=A′E，
∴当△A′GE是直角三角形时，只能∠A′EG=90°，
∴△A′EG是等腰直角三角形，设AH=y，则AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB-AA′=8-2y，
在等腰直角三角形A′GE中，A′E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′G=$\sqrt{2}$y，
在直角三角形A′BE中，A′E=$\sqrt{A′{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（8-2y）^{2}+（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，
2y²=（8-2y）²+（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）²
解得：y₁=$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$，y₂=8$+\frac{8\sqrt{3}}{3}$（不合题意舍去），
∴AH=$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．