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【题目】如图,△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形,△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点,△DEF绕点D旋转,且边DF,DE始终分别交△ABC的边AB,AC于点H,G,图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称.连结HH′,HG,GG′,H′G′,其中HH′、GG′分别交BC于点I,J.

(1)求证:△DHB∽△GDC;
(2)设CG=x,四边形HH′G′G的面积为y,
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.
②求当x为何值时,y的值最大,最大值为多少?

【答案】
(1)

证明:在正△ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,

∴∠BHD+∠BDH=120°,

在正△DEF中,∠EDF=60°,

∴∠GDC+∠BDH=120°,

∴∠BHD=∠GDC,

∴△DHB∽△GDC


(2)

证明:①∵D为BC的中点,

∴BD=CD=2,

由△DHB∽△GDC,

即:

∴BH=

∵H,H′和G,G′关于BC对称,

∴HH′⊥BC,GG′⊥BC,

∴在Rt△BHI中,BI= BH= ,HI= BH=

在Rt△CGJ中,CJ= CG= ,GJ= CG=

∴HH′=2HI= ,GG’=2GJ= x,IJ=4﹣

∴y= + x)(4﹣

∵边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G,

∴当△DEF绕点D旋转时,点H和A重合时,AG=3,

∴x=CG=1,

当点G和A重合时,CG=4,

∴x=4,

∴1≤x≤4

②由①得,y=﹣ +x)2+2 +x),

=a,得y=﹣ a2+2 a,

当a=4时,y最大=4

此时 =4,解得x=2.


【解析】(1)由等边三角形的特点得到相等关系,即可;(2)由相似三角形得到 ,再结合对称,表示出相关的线段,四边形HH′G′G的面积为y求出即可.

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