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如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注:不含AB线段).已知A(-1,0),B(1,0),AEBF,且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上.
(1)求两条射线AE,BF所在直线的距离;
(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围;
(3)已知?AMPQ(四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围.
(1)如图1,分别连接AD、DB,则点D在直线AE上,
∵点D在以AB为直径的半圆上,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AD,
在Rt△DOB中,由勾股定理得,BD=
2

∵AEBF,
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为
2


(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,b的取值范围是b=
2
或-1<b<1;
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,b的取值范围是1<b<
2


(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ,根据点M的位置,分以下四种情况讨论:
①当点M在射线AE上时,如图2
∵AMPQ四点按顺时针方向排列,
∴直线PQ必在直线AM的上方,
∴PQ两点都在弧AD上,且不与点A、D重合,
∴0<PQ<
2

∵AMPQ且AM=PQ,
∴0<AM<
2

∴-2<x<-1,

②当点M在弧AD上时,如图3
∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,
∴直线PQ必在直线AM的下方,
此时,不存在满足题意的平行四边形.
③当点M在弧BD上时,
设弧DB的中点为R,则ORBF,

当点M在弧DB上时,如图4,
过点M作OR的垂线交弧DB于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形,
∴0≤x<
2
2


当点M在弧RB上时,如图5,
直线PQ必在直线AM的下方,
此时不存在满足题意的平行四边形.

④当点M在射线BF上时,如图6,
直线PQ必在直线AM的下方,
此时,不存在满足题意的平行四边形.

综上,点M的横坐标x的取值范围是-2<x<-1或0≤x<
2
2

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3
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