Question

如图，圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M．则S_△ABM：S_△AFM=

 

．

Answer 1

分析：先根据正六边形的性质判断出△AMF≌△BMC，再求出△ABM与△AMF的高之比即可．

解答：解：过M作MG⊥AB于G；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=∠ABC=120°，AF=AB=BC，FE∥BC，FE=BC，
∴△ABF≌△ABC，∠AFM=∠ACB，
∴△AMF≌△BCM；
连接BE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BE是⊙O的直径，∠MFE=∠MBC=90°，
∴∠FAM=90°，
∴S_△ABM：S_△AFM=GM：AM；
∵∠FAB=∠ABC=120°，∠FAM=90°，
∴∠MAB=∠BCM=30°，
∴

GM

AM

=sin30°=

1

2

，即S_△ABM：S_△AFM=

1

2

．

点评：本题考查的是正六边形及等腰三角形的性质、圆周角定理，综合性较强，但难度适中．