Question

4．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；
（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点B和点C的坐标，然后将B（4，0）代入抛物线的解析式求得b的值即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求得点A的坐标，依据勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，且∠BCA=90°，则△ABM≌△ABC，则点M与点C关于x=$\frac{3}{2}$对称；
（3）此题应分两种情况考虑：①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩形的四顶点的坐标；②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．

解答 解：（1）把x=0代入直线的解析式得：y=-2，
∴C（0，-2）．
将y=0代入直线的解析式得：0=$\frac{1}{2}$x-2，解得x=4，
∴B（4，0）．
将点B（4，0）代入抛物线的解析式得：8+4b-2=0，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，B（4，0），
∴A（-1，0）．
∴AB=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC为直角三角形，且∠BCA=90°．
∵M为抛物线上的一点，
∴不可能由MB⊥AB或MA⊥AB．
∴当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90°．
∴△BAM≌△ABC．
∴点M的坐标为（3，-2）．

（3）①如图①所示，矩形DEFG中D、E在AB边上．

设DG=EF=m；
由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB，$\frac{2-m}{2}$=$\frac{FG}{5}$，
解得FG=5-$\frac{5}{2}$m；
故矩形的面积S=DG•FG=（5-$\frac{5}{2}$m）m=-$\frac{5}{2}$m²+5m，即S=-$\frac{5}{2}$（m-1）²+$\frac{5}{2}$，
故m=1时，矩形的面积最大为2.5；
此时D（-$\frac{1}{2}$，0），E（2，0），G（-$\frac{1}{2}$，-1），F（2，-1）；
②如图②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上．

设DE=CG=n，同①可得：$\frac{\sqrt{5}-n}{\sqrt{5}}$=$\frac{DG}{2\sqrt{5}}$即DG=2$\sqrt{5}$-2n；
故矩形的面积S=DE•DG=（2$\sqrt{5}$-2n）n=-2（n-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，即当n=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，矩形的最大面积为2.5；
此时BD=5×$\frac{DE}{\sqrt{5}}$=$\frac{5}{2}$，OD=OB-BD=$\frac{3}{2}$，即D（$\frac{3}{2}$，0）；
综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），（2，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，不要漏解