Question

已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1．若∠AOC=30°．求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE=∠BOE-∠BOD求出即可．
（3）把∠AOC当作已知数求出∠BOC，求出∠BOD，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE=∠BO+∠BOD求出即可．

解答：解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-90°-30°=60°，
∴∠COB=90°+60°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=75°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°．

（2）∵∠COD是直角，∠AOC=α，
∴∠BOD=180°-90°-α=90°-α，
∴∠COB=90°+90°-α=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=90°-

1

2

α，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-

1

2

α-（90°-α）=

1

2

α．

（3）∠AOC=2∠DOE，
理由是：∵∠BOC=180°-∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠BOE=

1

2

∠BOC=90°-

1

2

∠AOC，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-∠BOC=90°-（180°-∠AOC）=∠AOC-90°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=（∠AOC-90°）+（90°-

1

2

∠AOC）=

1

2

∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．

点评：本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．