Question

6．如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，
（1）求证：PG⊥PC，PG=$\sqrt{3}$PC；
（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，其它条件不变（如图②），（1）中的条件仍然成立，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长GP交DC于H，先证明△DHP≌△FGP，得出HP=GP，DH=FG=BG，证出CH=CG，PG⊥PC，再求出∠CGP=30°，即可得出结论；
（2）延长GP交AD于Q，连结CQ、CG，先证明△DQP≌△FGP，得出DQ=FG=BG，QP=GP，再证明△CDQ≌△CBG，得出∠DCQ=∠BCG，CQ=CG，证出PG⊥PC，求出∠CGP=30°，即可得出结论．

解答 （1）证明：延长GP交DC于H，如图①所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC=BC，GF=BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
在△DHP和△FGP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HDP=∠GFP}&{\;}\\{∠DHP=∠FGP}&{\;}\\{DP=FP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP=GP，DH=FG=BG，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC═60°，
∴∠HCG=180°-60°=120°，
∴∠CGP=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC；
（2）成立；理由如下：延长GP交AD于Q，连结CQ、CG，如图②所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC=BC，GF=BG，DA∥CE∥GF，
∴∠DQP=∠FGP，∠QDP=∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
在△DQP和△FGP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DQP=∠FGP}&{\;}\\{∠QDP=∠GFP}&{\;}\\{DP=FP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DQP≌△FGP（AAS），
∴DQ=FG=BG，QP=GP，
∵EF∥BG，
∴∠CBG=∠BEF=60°，
∵∠CDQ=∠ABC=60°，
∴∠CBG=∠CDQ，
在△CDQ和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BC}&{\;}\\{∠CDQ=∠CBG}&{\;}\\{DQ=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDQ≌△CBG（SAS），
∴∠DCQ=∠BCG，CQ=CG，
∴CP⊥QG，即PG⊥PC，
∵∠DCB=180°-60°=120°，即∠DCQ+∠BCQ=120°，
∴∠BCG+∠BCQ=120°，即∠QCG=120°，
∴∠CGP=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质以及旋转的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．