Question

已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）如图1，猜想ON与OP的关系并证明；
（2）如图1图2，设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠BCN=∠CDP，再利用“角角边”证明△BCN和△CDP全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=DP，再根据等角的余角相等求出∠OCN=∠ODP，然后利用“边角边”证明△OCN和△ODP全等，根据全等三角形对应边相等可得ON=OP，全等三角形对应角相等可得∠CON=∠DOP，再求出∠AON=∠BOP，然后求出∠NOP=∠AOB=90°，根据垂直的定义可得ON⊥OP；
（2）根据同角的余角相等求出∠CDP=∠BCN，再根据“角边角”证明△CDP和△CBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CP，再表示出BN，然后根据四边形的面积等于两个三角形的面积列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCN=90°，
又∵∠DCN+∠BCN=90°，
∴∠BCN=∠CDP，
在△BCN和△CDP，

∠BCN=∠CDP BC=CD ∠ABC=∠BCD=90°

，
∴△BCN≌△CDP（ASA），
∴CN=DP，
∵CN⊥DP，AC⊥BD，
∴∠OCN=∠ODP，
在△OCN和△ODP中，

OC=OD ∠OCN=∠ODP CN=DP

，
∴△OCN≌△ODP（SAS），
∴ON=OP，∠CON=∠DOP，
∴∠AON=∠BOP，
∴∠NOP=∠AOB=90°，
∴ON⊥OP，
综上所述，ON与OP垂直且相等；

（2）∵CN⊥DP，
∴∠CDP+∠DCM=90°，
又∵∠BCN+∠DCM+90°=180°，
∴∠CDP=∠BCN，
在△CDP和△CBN中，

∠CDP=∠BCN BC=CD ∠CBN=∠DCP=90°

，
∴△CDP≌△CBN（SAS），
∴BN=CP，
∵AB=4，BP=x，
∴BN=x-4，点O到BP的距离=

1

2

×4=2，
∴y=

1

2

x•2+

1

2

x（x-4）=

1

2

x²-x．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图确定出全等三角形和三角形全等的条件是解题的关键．