【题目】如图,⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧的中点,连结AD并延长,与过C点的直线交于P,OD与BC相交于点E.
(1)求证:OE=AC;
(2)连接CD,若∠PCD=∠PAC,试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)PC为⊙O的切线,理由见解析;(3)PC=15.
【解析】
(1)利用垂径定理证明 再证明,利用三角形中位线定理可得结论;(2)连接CO,DC,证明∠OCP=∠OBC+∠BAC,即可得到结论;
(3)先分别求解 再证明△PCD∽△PAC,从而可得答案.
(1)证明:∵AB为直径
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又∵D为中点,
∴OD⊥BC,OD∥AC,
又∵O为AB中点,
∴OE=AC;
(2)解:PC为⊙O的切线,
理由:连接CO,DC,
∵CO=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵∠BCD=∠BAD,∠PCD=∠PAC,
∴∠OCB+∠BCD+∠PCD
=∠OBC+∠BAD+∠PAC,
∴∠OCP=∠OBC+∠BAC,
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠OBC+∠BAC=90°,
∴∠OCP=90°,
即PC为⊙O的切线;
(3)解:
由(1)可知,
OE=3,BE=4,DE=2,
在Rt△BED和Rt△ABD中,
由勾股定理得:BD=2,
AD=4,
∵点D是劣弧的中点,
∴CD=2,
∵∠P是△PCD和△PAC的公共角,
由∠PCD=∠PAC,
则△PCD∽△PAC,
∴,
∴PC2=PDAP,
即,
∴PC=,
∴,
解得:PD=,
∴PC=
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1,由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…,以此类推,则第六个正方形A6B6C6D6周长是( )
A.B.C.D.
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【题目】鄂尔多斯市某百货商场销售某一热销商品A,其进货和销售情况如下:用16000元购进一批该热销商品A,上市后很快销售一空,根据市场需求情况,该商场又用7500元购进第二批该商品,已知第二批所购件数是第一批所购件数的一半,且每件商品的进价比第一批的进价少10元.
(1)求商场第二批商品A的进价;
(2)商场同时销售另一种热销商品B,已知商品B的进价与第二批商品A的进价相同,且最初销售价为165元,每天能卖出125件,经市场销售发现,若售价每上涨1元,其每天销售量就减少5件,问商场该如何定售价,每天才能获得最大利润?并求出每天的最大利润是多少?
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、BF,交点为G.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图2),延长FP交BA的延长线于点Q,求sin∠BQP的值;
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图3),若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的边长为4时,直接写出四边形GHMN的面积.
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【题目】小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间y(单位:秒)与训练次数x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的大小: y1-y2 y2-y3.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,连接AC,O是AC的中点,M是AD上一点,且MD=1,P是BC上一动点,则PM﹣PO的最大值为_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.
(1)当BP= 时,△MBP~△DCP;
(2)当⊙P与正方形ABCD的边相切时,求BP的长;
(3)设⊙P的半径为x,请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(﹣2,0),C(6,0).
(1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴;
(2)如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PD⊥AC于点E,交x轴于点D,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G.设线段DG的长为d,求d与m的函数关系式,并注明m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若△PDG的面积为,
①求点P的坐标;
②设M为直线AP上一动点,连接OM交直线AC于点S,则点M在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得△ARS为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M及其对应的点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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