(1)证明:如图,∵BC边与圆O相切于点F,
∴BC⊥OF.
又∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴AC∥OF,
∴∠2=∠3,∠1=∠4.
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4,即OF平分∠DOE;
(2)解:如图,过O作AC的垂线,设垂足为G,
∵AC⊥BC,BC⊥OF,
∴四边形OGCF是矩形,
∵CF是切线,CDA是割线,
∴CF
2=CD•CA,
∵CD=1,CF=
,
∴AC=3,
∴AD=2,
∴AG=1,
∴OF=CG=2,
连接DF.易求∠CFD=∠B=30°,∠3=∠4=60°,
∴S
阴影=S
△ABC-S
△AOD-S
扇形DFE=
AC•BC-
OA•ODsin60°-
=
×3×3
-
×2×2×
-
=
-
.即图中阴影部分面积的和是
-
.
分析:(1)利用切线的性质、平行线的判定定理推知AC∥OF,则∠2=∠3,∠1=∠4;又由等腰三角形的性质和等量代换可以求得∠1=∠3,即OF平分∠DOE;
(2)如图,连接DF.利用弦切角定理、圆周角定理推知∠3=60°.则S
阴影=S
△ABC-S
△AOD-S
扇形DFE.
点评:本题考查了切线的性质、扇形的面积计算.解答(2)题时,采用了“分割法”来计算图中阴影部分的面积.