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    (2003　浙江绍兴)已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：

    (1)将三角形的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA、OB交于点C、D．

    ①在图中，证明：PC=PD；

    ②在图中，点G是CD与OP的交点，且PD，求△POD与△PDG的面积之比．

    (2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图中作出图形，试求OP的长．

    答案：略
    解析：

    解　(1)①如图所示，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得

    ∠HPN=90°，∴∠HPC＋∠CPN=90°．

    a)

    而∠CPN＋∠NPD=90°，

    ∴∠HPC=∠NPD．

    ∵OM是∠AOB的平分线，

    ∴PH=PN．

    又∵∠PHC=∠PND=90°，

    ∴△PCH≌△PDN．

    ∴PC=PD．

    ②如图所示，∵PC=PD，∴∠PDG=45°．

    b)

    而∠POD=45°，

    ∴∠PDG=∠POD．

    又∵∠GPD=∠DPO，

    ∴△POD∽△PDG．

    ∴．

    (2)如图所示，若PC与边OA相交．

    c)

    ∵∠PDE＞∠CDO，

    △PDE∽△OCD．

    ∴∠CDO=∠PED．

    ∴CE=CD，而CO⊥ED．

    ∴OE=OD．

    ∴．

    若PC与边OA的反向延长线相交，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为HN，如图所示．

    d)

    ∵∠PDE＞∠EDC，

    △PDE∽△ODC．

    ∴∠PDE=∠ODC．

    ∵∠OEC＜∠PED，

    ∴∠PDE=∠HCP．

    而PH=PN，

    ∴Rt△PHC≌Rt△PND．

    ∴HC=ND，PC=PD．

    ∴∠PDC=45°．

    ∴∠PDO=∠PCH=22.5°．

    ∴OP=OC．

    设OP=x，则，

    ∴，

    而，

    ∴，

    ∴，即．


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