Question

如图，已知知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），己知点H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（-2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）由题意得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；

（2）解法一：
假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=-3时，△HGC不存在．
①当n＞-3时，
可得S_△GHA=-

m

2

+

n

2

+

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴m+n+1=0，
由

n=m2+2m-3 m+n+1=0

，
解得：

m=- 3+ 17 2 n= 1+ 17 2

或

m= -3+ 17 2 n= 1- 17 2

，
∵点G在y轴的左侧，
∴G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）；
②当-4≤n＜-3时，
可得S_△GHA=

m

2

-

n

2

-

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴3m-n-1=0，
由

n=m2+2m-3 3m-n-1=0

，
解得：

m=-1 n=-4

或

m=2 n=5

，
∵点G在y轴的左侧，
∴G（-1，-4）．
∴存在点G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）或G（-1，-4）．
解法二：
①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，
∴S_△GHC=S_△GHA，
可得AC的解析式为y=3x-3，
∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x-1，
∴G（-1，-4）；
②如图②，当GH与AC不平行时，
∵点A，C到直线GH的距离相等，
∴直线GH过线段AC的中点M（

1

2

，-

3

2

）．
∴直线GH的解析式为y=-x-1，
∴G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

），
∴存在点G（-

3+ 17

2

，

1+ 17

2

）或G（-1，-4）．

（3）解法一：
如图③，∵E（-2，0），
∴D的横坐标为-2，
∵点D在抛物线上，
∴D（-2，-3），
∵F是OC中点，
∴F（0，-

3

2

），
∴直线DF的解析式为：y=

3

4

x-

3

2

，
则它与x轴交于点Q（2，0），
则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴

PB

FD

=

BE

DP

，
得：PB•DP=

5

2

，
∵PB+DP=BD=

10

，
∴PB=

10

2

，
即P是BD的中点，
连接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=

1

2

BD=

10

2

．

解法二：
可知四边形ABDC为等腰梯形，取BD的中点P′，
P′F=

1

2

（OB+CD）=

5

2

，
P′F∥CD∥AB，
连接EF，可知EF=DF=

5

2

，
即EF=FP′=FD，
即△FEP′相似△FP′D，
即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，
即∠EP′F和∠EPF重合，
即P和P′重合，
P为BC中点，
PE=

1

2

BD=

10

2

（△BDE为直角三角形）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用