如图.在矩形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.AB=8cm.BC=6cm.定长为2cm的动线段PQ在边AB上.端点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动.当端点Q到达点B时运动停止.过点Q作QM∥BD交AC于点M(当点Q与点B重合时.QM与BO重合).连接PM．设线段PQ的运动时间为t．(1)用含有t的代数式表示线段AQ.QM的长．(2)当△APM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm，定长为2cm的动线段PQ在边AB上，端点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动，当端点Q到达点B时运动停止，过点Q作QM∥BD交AC于点M（当点Q与点B重合时，QM与BO重合），连接PM．设线段PQ的运动时间为t（s）（t≥0）．
（1）用含有t的代数式表示线段AQ，QM的长．
（2）当△APM的面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{16}$时，求t的值．
（3）在这个运动过程中，△PQM能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）设点E，F分别是PM，QM的中点，连接EF，求整个运动过程中线段EF扫过图形的面积．

分析（1）由AP+PQ表示出AQ的长，由MQ与OB平行，得到三角形AMQ与三角形ABO相似，由相似得比例，表示出QM的长即可；
（2）如图1所示，过M作MT垂直于AB，利用锐角三角函数定义表示出MT，进而表示出三角形APM面积，由三角形APM面积与矩形ABCD面积之间的关系求出t的值即可；
（3）在这个运动过程中，△PQM能为等腰三角形，分三种情况考虑：PM=QM；PQ=QM；PM=PQ，分别求出t的值即可；
（4）如图2所示，利用三角形中位线定理得到EF与GH平行，且EF=GH，得到四边形EFHG为平行四边形，即为EF扫过的图形，过E作EK垂直于AB，过O作OR垂直于AB，连接HP，延长EF交HP于点L，由三角形AOB为等腰三角形，且OR垂直于AB，利用三线合一性质求出OR与RB的长，根据PB=PQ=2，RP=2，得到RP=PB，即HP为三角形OBR的中位线，求出HP的长，在三角形AEK中，利用相似求出EK的长，由HP-EK求出平行四边形EF边上的高，即可求出所求面积．

解答解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠DAB=90°，OB=OD，
在Rt△ABD中，AB=8cm，AD=6cm，
根据勾股定理得：BD=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10cm，即OB=5cm，
∵AP=tcm，PQ=2cm，
∴AQ=（t+2）cm，
∵MQ∥OB，
∴$\frac{MQ}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{MQ}{5}$=$\frac{t+2}{8}$，
则MQ=$\frac{5}{8}$（t+2）cm；
（2）过M作MT⊥AB，如图1所示，

在Rt△AMT中，MT=AM•sin∠OAB=$\frac{5}{8}$（t+2）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{8}$（t+2）cm，
∴S_△APM=$\frac{1}{2}$AP•MT=$\frac{1}{2}$t•$\frac{3}{8}$（t+2）=$\frac{3}{16}$（t²+2t）cm²，
当$\frac{3}{16}$（t²+2t）=$\frac{1}{16}$×48时，即t²+2t-16=0，
解得：t₁=$\sqrt{17}$-1，t₂=-$\sqrt{17}$-1（舍去），
则当t=$\sqrt{17}$-1时，△APM的面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{16}$；
（3）分三种情况考虑：
（i）当PM=QM时，∠MPQ=∠MQP=∠OAB，即P与A重合，即t=0；
（ii）当PQ=QM时，$\frac{5}{8}$（t+2）=2，解得：t=$\frac{6}{5}$；
（iii）当PM=PQ时，∠PQM=∠PMQ=∠OAB=∠OBA，
∴△PQM∽△OAB，
∴$\frac{PQ}{AO}$=$\frac{QM}{AB}$，即$\frac{2}{5}$=$\frac{\frac{5}{8}（t+2）}{8}$，解得：t=$\frac{78}{25}$，
综上所述，当t=0s，t=$\frac{6}{5}$s，t=$\frac{78}{25}$s时，△PQM为等腰三角形；
（4）∵EF=GH，EF∥GH，
∴EF扫过得图形EFHG是平行四边形，

如图2所示，过点E作EK⊥AB，过点O作OR⊥AB，连接HP，延长EF交HP于点L，
∵OA=OB，OR⊥AB，
∴OR=$\frac{1}{2}$BC=3，RB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵PB=PQ=2，RP=2，
∴RP=PB，
∴HP为△OBR的中位线，
∴HP=$\frac{1}{2}$OR=3cm，
∵MQ∥OB，
∴$\frac{AM}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{AM}{5}$=$\frac{2}{8}$，
解得：AM=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{5}{8}$，
∵EK∥OR，
∴$\frac{EK}{OR}$=$\frac{AE}{AO}$，即$\frac{EK}{3}$=$\frac{\frac{5}{8}}{5}$，
解得：EK=$\frac{3}{8}$，
∴HL=3-$\frac{3}{8}$=$\frac{21}{8}$cm，
∵EF=$\frac{1}{2}$AQ=1，
∴S_{平行四边形EFHG}=EF•HL=1×$\frac{21}{8}$=$\frac{21}{8}$cm²．

点评此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

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