精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
精英家教网
分析:(1)已知OA、OC的长,可得A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)设出点P的横坐标,表示出CP的长,由于PE∥AB,可利用相似三角形△CPE∽△CBA,求出△APE的面积表达式,进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题,根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标.
(3)由于△AGC的面积无法直接求出,可用割补法求解,过G作GH⊥x轴于H,设出G点坐标,表示出△HGC、梯形AOHG的面积,它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式,然后将(2)题所得△APE的面积最大值代入上式中,联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标.
解答:解:(1)如图,
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,6),
∴c=6.(1分)
∵抛物线的图象又经过点(-3,0)和(6,0),
0=9a-3b+6
0=36a+6b+6
,(1分)
解之得
a=-
1
3
b=1
,(1分)
故此抛物线的解析式为:y=-
1
3
x2+x+6.(1分)

精英家教网(2)设点P的坐标为(m,0),
则PC=6-m,S△ABC=
1
2
BC•AO=
1
2
×9×6=27;(1分)
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CAB;(1分)
S△CEP
S△CAB
=(
PC
BC
)2

S△CEP
27
=(
6-m
9
2
∴S△CEP=
1
3
(6-m)2,(1分)
∵S△APC=
1
2
PC•AO=
1
2
(6-m)×6=3(6-m),
∴S△APE=S△APC-S△CEP=3(6-m)-
1
3
(6-m)2=-
1
3
(m-
3
2
2+
27
4

当m=
3
2
时,S△APE有最大面积为
27
4

此时,点P的坐标为(
3
2
,0).(1分)

(3)如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G(a,b),(1分)
连接AG、GC,
精英家教网∵S梯形AOHG=
1
2
a(b+6),
S△CHG=
1
2
(6-a)b,
∴S四边形AOCG=
1
2
a(b+6)+
1
2
(6-a)b=3(a+b).(1分)
∵S△AGC=S四边形AOCG-S△AOC
27
4
=3(a+b)-18,(1分)
∵点G(a,b)在抛物线y=-
1
3
x2+x+6的图象上,
∴b=-
1
3
a2+a+6,
27
4
=3(a-
1
3
a2+a+6)-18,
化简,得4a2-24a+27=0,
解之得a1=
3
2
,a2=
9
2

故点G的坐标为(
3
2
27
4
)或(
9
2
15
4
).(1分)
点评:此题涉及到二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识,注意面积问题与二次函数最值问题之间的联系.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后,得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积是
 
cm2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点精英家教网,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(-3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,设点P的横坐标为x,试用含x的代数式表示△APE的面积S;
(3)在(2)的条件下,点G为第一象限内的该抛物线上的一个动点,对于S的一个确定的值,始终存在点G,满足△AGC的面积与(2)中△APE的面积相等,求符合题意的点G的横坐标的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后,得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积是(  )cm2
A、12.5
B、
25
3
6
C、
25
3
3
D、不能确定

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,将直角边长为3cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△ADE,ED交AB于点F,则△AEF的面积为
3
3
2
3
3
2
cm2

查看答案和解析>>

同步练习册答案