Question

19．如图，在?ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于E，且与CD相切．
（1）求证：CD=CE；
（2）若AB=4，BE=6，求cos∠EBC．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形得到∠D=∠ABC，再利用圆内接四边形的性质得∠CED=∠ABC，则∠D=∠CED，所以CD=CE；
（2）连接CO交AB于F，交⊙O于G，如图，根据切线的性质得∴C⊥CD，则OC⊥AB，所以AF=BF=2，∠DCE+∠ECG=90°，再证明∠BCE=∠BEC得到BE=BC=6，利用勾股定理计算出CF=4$\sqrt{2}$，设⊙O的半径为r，则OF=4$\sqrt{2}$-r，在Rt△OAF中，2²+（4$\sqrt{2}$-r）²=r²，解方程求出r，然后利用余弦的定义求出os∠AOF=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{7}{9}$，然后利用∠AOG=∠AEB=∠CBE得到cos∠CBE的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=∠ABC，
∵∠CED=∠ABC，
∴∠D=∠CED，
∴CD=CE；
（2）连接CO交AB于F，交⊙O于G，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD∥AB，
∴OC⊥AB，
∴AF=BF=2，∠DCE+∠ECG=90°，
∵CG为直径，
∴∠GEC=90°，
∴∠ECG+∠CGE=90°，
∴∠DCE=∠CGE，
∵∠CBE=∠CEG，
∴∠DCE=∠CBE，
∵∠DEC=∠BCE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=6，
在Rt△BCF中，CF=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为r，则OF=4$\sqrt{2}$-r，
在Rt△OAF中，2²+（4$\sqrt{2}$-r）²=r²，解得r=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴OF=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴cos∠AOF=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{7}{9}$，
∵∠AOG=∠AEB=∠CBE，
∴cos∠CBE=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质．