Question

【题目】（复习旧知）

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而│4－1│＝3；表示－3和2两点之间的距离是5：而│－3－2│＝5；表示－4和－7两点之间的距离是3，而│－4－(－7)│＝3．

一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│．

（1）数轴上表示数－5的点与表示－2的点之间的距离为________；

（探索新知）

如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．

下面：以求DE为例来说明如何解决．

从坐标系中发现：D（－7，5），E(4，－3)．所以DF＝│5－(－3）│＝8，EP＝│4－(－7）│＝11，所以由匀股定理可得：DE＝．

（2）在图②中：设A（x1，y1），B(x2，y2)，试用x1，y1，x2，y2表示：

AC＝____________，BC＝____________，AB＝____________．

得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．

（学以致用）

请用此公式解决如下题目：

（3）已知：A(2，1），B(4，3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）y1-y2；x1-x2；（3）（5，0）或（0，5）.

【解析】

（1）利用数轴上表示两点之间的距离公式即可求出；

（2）先求出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB.

（3）由△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在坐标轴上，可知点C在AB中垂线上，作出中垂线不难发现此时点C有两种情况，①若点C在x轴上，利用平面直角坐标系中两点间距离公式和等腰三角形的腰相等列方程即可；②若点C在y轴上，求法同①.

解：（1）由数轴上表示两点之间的距离公式可知：表示数－5的点与表示－2的点之间的距离为：│－5－(－2）│=3；

（2）由图②可知AC=y1-y2，BC= x1-x2，由勾股定理得：AB=；

（3）如下图所示，

∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在坐标轴上

∴点C在AB中垂线上，作出中垂线不难发现此时点C有两种情况，

若点C在x轴上，可设点C坐标为（xc，0）利用平面直角坐标系中两点间距离公式，

∴AC=

BC=

∴=

解得xc=5.

故C点坐标为（5，0）.

若点C在y轴上，可设点C坐标为（0，yc）利用平面直角坐标系中两点间距离公式，

AC=

BC=

∴=

解得yc=5，

故点C的坐标为（0，5）.

综上所述点C的坐标为（5，0）或（0，5）.