Question

如图，直线y=

1

2

x+1（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求A点的坐标；
（3）若S_△AOP=2，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的定义得到2m+1=-1，解得m=-1，即可确定双曲线的解析式；
（2）由y=

1

2

x+1和双曲线的解析式组成方程组，解方程组即可得到A点的坐标；
（3）设P点坐标为（x，0），利用三角形的面积公式即可得到x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）根据题意得，2m+1=-1，解得m=-1，
所以双曲线的解析式为y=

4

x

；

（2）联立

y= 1 2 x+1 y= 4 x

，解得

x=-4 y=-1

或

x=2 y=2

，
∴A点坐标为（2，2）；

（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（x，0），
∵S_△AOP=2，
∴

1

2

•2•|x|=2，
∴x=±2，
∴点P的坐标为（-2，0）、（2，0）．

点评：本题考查了反比例函数的定义：函数y=

k

x

（k≠0）叫反比例函数；也考查了求直线与反比例函数图象交点的坐标的方法：把两个解析式联立组成方程组，方程组的解即为交点坐标．