Question

4．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径和面积．

Answer 1

分析 已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD平分BC，再根据垂径定理的推论得出AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长，进而求出面积．

解答 解：过A作AD⊥BC于D，连接BO，

∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD必过圆心O，
∵Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4．
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x，
根据勾股定理，得：OB²=OD²+BD²，即：
x²=（4-x）²+3²，解得：x=$\frac{25}{8}$，
即⊙O的半径为$\frac{25}{8}$，
面积是π×（$\frac{25}{8}$）²=$\frac{625}{64}$π．

点评 本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质、垂径定理的推论和勾股定理等知识的综合应用．设⊙O的半径为x，在Rt△OBD中利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．