Question

 已知和关于直线对称(点的对称点是点)，点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直平分线上，联结、，交于点．

    （1）如图（1），求证：；

    （2）如图（2），当时，是线段上一点，联结、、，的延长线交于点，，，试探究线段和之间的数量关系，并证明你的结论．

图（1）                              图（2）

Answer 1

 (1)证明：如图1  连接FE、FC 

∵点F在线段EC的垂直平分线上,

        ∴ FE=FC    ∴∠l=∠2   

∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．

∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF

    ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC 

∴FE=FA，∠1=∠BAF．∴∠5=∠6，

∵ ∠l+∠BEF=180⁰，∴∠BAF+∠BEF=180⁰

       ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰   

∴∠AFE+∠ABE=180⁰

又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰ ，  

∴∠5+∠6=∠3+∠4          

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD

(2)解：FM=FN

证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

   ∴∠AGF=∠BAF

又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF 

    又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG  

∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

∵AF=AD                                        图2

设GF=2a，则AG=3a，

∴GD=a，∴FD=DG-GF==a

∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.

∴．∴，设EG=2k，则MG=BG=3k

过点F作FQ∥ED交AE于Q，

 

∴GQ=EG=．∴QE=， MQ=MG+GQ=3k+=

∵FQ∥ED，.∴FM=FN