Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF=45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．
（1）求证：BF=BC；
（2）求△DEF的面积（用含a、m的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）利用直角梯形的性质和等腰直角三角形的性质可证明：AD=AF，又因为AB=AD+BC，AB=AF+BF，所以可证明BF=BC；
（2）连接CF，过点D作DH⊥BC于H，连接CF，作DH⊥BC于H，易证矩形ABHD、直角三角形CDF，设AD=AF=x，BC=BF=y．有勾股定理可得x²+y²=2a²…①，有梯形的面积公式可得（x+y）²=2m…②，②-①得xy=m-a²，又因为S_△DFC=S_梯形ABCD-S_△AFD-S_△BFC=xy，所以可求出△DEF的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，
∴∠A=90°，
∵∠ADF=45°，
∴∠AFD=45°，
∴AD=AF，
∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，
∴BF=BC；

（2）解：连接FC．
设AD=AF=x，BC=BF=y．
连接CF，作DH⊥BC于H，易证矩形ABHD、直角三角形CDF，
又∵E是CD中点，
∴CD=2EF=2a，
由勾股定理得x²+y²=2a²…①，
有直角梯形的面积公式可得：（x+y）²=2m…②
②-①，得xy=m-a²
∵S_△DFC=S_梯形ABCD-S_△AFD-S_△BFC=

1

2

（x+y）²-

1

2

x²-

1

2

y²=xy．
∴S_△DEF=

1

2

S_△DFC=

1

2

m-

1

2

a²．

点评：本题考查了直角梯形的性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用、三角形的面积公式和梯形的面积公式，题目的综合性不小，难度也不小．